Artea eta espazioa

katalogoa

Infinitu hirukoitza

Alyson Shotz

Elkarrizketa, honako hauen artean:
Alyson Shotz: artista
Priyamvada Natarajan: kosmologoa
Satyan L. Devadoss: matematikaria

Jatorrizko argitalpena hemen: Esopus Magazine, 17. zkia., 2011ko udazkena

Sarrera

Azken urteotan, pentsatzen aritu naiz infinituari buruzko proiekturen bat idatziko edo egingo ote nuen. Arrazionaltasuna nagusitu zen, eta konturatu nintzen, edonolako proiektu idatzirekin borrokan hasi baino lehen, hobe nuela laguntza eskatu adituren batzuei. Bi pertsona oso kualifikatu gonbidatu nituen elkarrizketa honetan parte hartzera: Satyan Devadoss, Matematikako irakaslea Williams College-n, eta Priyamvada Natarajan, kosmologoa eta Yaleko Unibertsitateko katedraduna. Hona hemen zenbait astez, gure bidaiekin tartekaturik, e-mail bitartez izan genuen solasaldia.

Infinituaren forma

Alyson Shotz: Infinituan pentsatzen dudanean, Möbius-en banda bat da burura datorkidan aurreneko gauza: amaierarik gabeko zerrenda bat, bere buruaren gainean zirkuluan ixten dena, eta urmael izoztu baten gainean zortzi baten irudia etengabe egiten duen patinatzaile bat. Espazioko iluntasunean dauden izarrak ere etortzen zaizkit burura, distiraka, misteriotsuki dirdaika, denboran gero eta atzerago beren buruaren gainean jirabiraka. Eguzki-izpi batean flotatzen duen hautsean pentsatzen dut; Safeway supermerkatu batean zerealei eskainitako korridorean pentsatzen dut, eta, jakina, Borgesen Babelgo liburutegia ipuinean. Orobat pentsatzen dut gauza ñimiñoetan… ikusgai diren gauza txiki-txikietatik abiatu —tximeleta-hegoaren ezkatak edo polen-hautsezko izpi bat erle baten hankan edo hondar-ale bat—, eta molekula, elektroi, cuark, neutrino, harietara heldu arte eskalan atzera egiten duten gauza horietan? Infinituaren ikurra harrigarri ederra eta iradokitzailea da, eta kontzeptua bera ere liluragarria gertatzen da, adierazten duenagatik: muga amaigabea, Unibertso amaigabea, mugagabea. Alabaina, kezkatzen nauen lausotasun moduko bat ere agertzen du batzuetan, eta neure artean pentsatzen dut ba ote duen infinituak inolako errealitaterik edo fundamenturik. Konturatzen naiz gai honi buruz eztabaida bizia dagoela, mendeetan luzatu dena.

Satyan L. Devadoss: Utz iezadazue infinituaz ditudan ideiak zuekin partekatzen. Gogora ezazue Lehen Hezkuntzako eskolan ikasten genuen zenbakien zerrenda. Pentsatu orain 1aren eta 3aren artean existitzen diren zenbaki guztietan, zeinei “bitarte” deitzen baitiegu [1,3]. Egin ditzagun bi galdera:

1. G. Zenbat zenbaki daude bitarte horretan?
1. E. Infinitu zenbaki erreal daude 1aren eta 3aren artean.
2. G. Zein da bitarte horren longitudea?
2. E. Bitarte horren longitudea 2 da.

Alegia, 2 longitudeko bitarte bat daukagu, barruan infinitu gauza dauzkana.

Mahairatu dezagun ondorengo ideia. Har dezagun gogoan 1 erradioko zirkulu bat, paperezko orri batean marraztuko duguna, x2+y2=1 ekuazio klasikoak emana. Gogoan izan: marrazten duzuen zirkuluaren partea da hori, ez zirkuluaren barrua.

1. G. Zenbat puntu ditu zirkunferentziak (zirkuluaren perimetroak)?
1. E. Infinitu puntu ditu, 0 eta 360 gradu arteko angelu bakoitzeko bana.
2. G. Zein da zirkulu horren longitudea?
2. E. Zirkulu horren longitudea 2π da (zirkunferentzia).

Hau da, infinitu puntu dauzkan objektu bat daukagu hemen, 6 eta laurden batetik goraxeagoko longitudea duena.

Matematikari gisa, eta topologo gisa bereziki (formen ikasketaz arduratzen naiz), infinituan pentsatzen dudanean, neurketa-tresna egokia zein den ulertu behar izaten dut. Neurketaren hizkera direlakoan hartzen ditut nik matematikak: formak aztertzea ahalbidetzen duen hizkera bat ematen digute. Esfera batean pentsatzean (barruan ezer ez daukan pilota baten “estalkia” da huts-hutsik), konturatzen naiz infinitu puntu dauzkala (longitude/latitude koordenatuen sistema bakoitzarentzat), baina hala ere eskuan eutsi diezaioket. Zentzu batean, gauza naiz eusteko (teorikoki) gauza-kopuru infinitu bat objektu finitu batean.

“Infinitu”-aren gaia interesgarria iruditzen zait kontzeptu gisa, baina auziaren muina hau da: zer forma hartzen du infinituak? Bai zirkuluak, bai esferak, elementu-kopuru infinitua dute, baina forma bana dira, bi forma desberdin. Izan ere, zirkunferentzia objektu dimentsio-bakarra da; hau da, zenbaki bakarra behar da zirkunferentziaren zer lekutan zauden deskribatzeko (esate baterako, 0 eta 360 gradu bitarteko angelua). Azalera esferiko bat bi dimentsioko objektua da, bi zenbaki behar baitira zer lekutan zauden deskribatzeko (longitudea/latitudea).

Hiru dimentsioko objektuak ere badira, jakina, gure Unibertsoa esate baterako (denbora-osagaia edo soken teoriaren hamaika dimentsioak gogoan hartu gabe). Eta urrutirago ere joan gaitezke. Bistaratzen ia-ia ezinezkoa gertatzen den arren, badira hogeita hamar dimentsioko objektuak. Kontura zaitezte forma hauek denek infinitu puntu dauzkatela, funtsa “dimentsio” kontzeptuan tankeratua geratzen bada ere. Infinitu dimentsioko mundu batean pentsatzea da egiaz harrigarria gertatzen zaidan gauza. Puntu horretantxe hasten dira gauzak nahasten, eta orduan gertatzen dira egiaz interesgarriak.

Priyamvada Natarajan: Nire gogoan, espazio-infinitutasuna eta denbora-infinitutasuna, hein batean, desagertu egiten dira, batu egiten dira. Nire eguneroko lanean erlatibitate orokorraren teoria aplikatzen dudanez gero, espazio-denboraren testuinguruan (eta horrek lau koordenatu behar ditu jazotzen den gertaera bat zehazteko) bistaratzen ditut eskalak, esate baterako argiaren bidaia Unibertsoko bazterretatik.

Nik ez dut gauza ñimiñoetan pentsatzen infinituan pentsatzen dudanean. Neurrigabetasunean pentsatzen dut, espazio- eta denbora-nozio atzemanezinetan. Espazio-denbora entitate bateratu baten gisan ulertzen dudanez gero, entitate hori infinitura iristen da urrutiena, zentzuren batean hodi edo gainazal elastiko bat balitz bezala.

A.S.: Bai, zer forma du infinituak! Oso auzi interesgarria… ekarpenen bat? Satyan, orain ulertzen dut zer esan nahi duzun infinituari eskuan eusteaz mintzatzen zarenean. Beste hitzetan esanda, infinitua existi daiteke eta existitzen da gure inguruan. Bada eguneroko infinitutasun moduko bat, nolabaiteko zentzuan denbora guztian zeharkatzen ari garena, bi punturen arteko distantzia bat egiten dugun aldi bakoitzean. Alabaina, kontzeptu hau harrigarria gertatzen zait oraindik ere, Zenonen paradoxetako bat gogorarazten baitit (funtsean: gela zeharkatu nahi badut, distantziaren erdia egin behar dut lehenengo, ondoren geratzen den distantziaren erdia, ondoren geratzen den distantziaren erdia… eta horrelaxe infinituraino). Horren ondorioa da ez naizela sekula gelaren beste aldera ailegatuko. Baina halere, beti ailegatzen naiz gelaren beste aldera. Orduan, zer esan nahi du horrek era honetako infinitu itxientzat? Errealak al dira, edo eraketa filosofikoak dira huts-hutsik?

Beste alde batetik, espazioko infinitu dimentsiotan dauden infinitu punturen ideia, iruditzen zait niri, Priyak eta zuk bat egin dezakezuen leku bat izan daiteke. Ekarpenen bat horri buruz? Zer forma du Unibertso infinituak? Orain ere guztiz harrituta uzten nauen galdera bat da. Ba al da forma hori nolakoa izango litzatekeen imajinatzeko moduren bat? Gustatzen zait hodi formako gainazal elastiko baten ideia… oso sentsazio topologikoa ematen du. Gainera, Unibertsoaren “forma” edo “muga” ikustea lortzeko, ez ote litzateke beharrezkoa halako abiadaz bidaiatzea (argiaren abiadan beharbada) non denbora birtualki gelditu egingo bailitzake? Zer esan nahi du horrek, badela puntu itsu bat, eta hori baino harantzago ezingo dugula behin ere ezer ikusi? Niri iruditzen zait gehiago hitz egin behar genukeela denbora infinituaz. Modu infinituan existitzen da denbora, edo aldez aurretik pentsatutako entitate gisa? Batzuetan espazioan flotatzen duen forma baten moduan imajinatzen dut denbora, eta guk forma horretan barna aurrera egiten dugula denbora mugitzen garenean.

P.N.: Unibertsoaren forma, haren kurbatura, izan laua, izan zaldi-zela formakoa edo esfera baten kanpoaldeko partearen itxurakoa, Unibertsoaren edukiekin eta haren patuarekin konbinatzen da. Izan ere, Einstein-ek sumatu zuen, modu sakonean, Unibertsoaren hiru qualia horiek, forma (geometria ere deitzen zaiona), patua eta edukia, ezin askatuzko moduan daudela elkarrekin txirikordatuak. Hortaz, Unibertsoaren formari buruzko edozein galdera nahitaez egongo da haren patuarekin eta edukiarekin lotua. Hori esanda, Unibertsoaren parte finitu bat baizik ezingo dugu ikusi beti, eta, hortaz, gure pertzepziorako, Unibertsoa finitua da beti. Horren motiboa da argia abiadura finituan mugitzen dela, eta, hortaz, distantzia finitu bat besterik ez duela egin Big Bang-az geroztik, eta hura duela 13.700 milioi urte gertatu zen. Argiak harrezkero egin duen distantziaren mugak definitzen du “Unibertsoaren muga” edo haren horizontea, teknikoki esaten den bezala. Ez dakigu horizontea baino harantzago luzatzen den Unibertsoa.

Denbora ez da behin ere gelditzen, gure existentziak denbora sortzen du. Denbora gauza sinestezina da, ez da existitzen espaziotik at. Horregatik, ona da Alysonek denboraz egiten duen analogia, espazioan flotatzen duen forma batekin alderatuz; baina gogoan hartu behar dugu forma hori norabide batean bakarrik mugi litekeela, aurreraka, eta ez daukala mugarik (horregatik, nahiko murriztailea gertatzen da formaren analogia). Nola imajinatzen dut nik denbora? Niretzat denbora gu barne hartzen gaituen itsaso baten moduko zerbait da, haren baitan mugitzera bultzatzen gaituen armiarma-sare bat bezalako zerbait, aurrerantz joateko aukera baino ematen ez diguna. Ezin atzeman daitekeen gauza da, eta esperientzia oro iragankorra izango dela bermatzen du, eta ez dela sekula berriz erregistratuko. Hortaz, iheskorra da, eta, hala ere, ahalmen handikoa.

S.L.D.: Alboko auzia da, baina niretzat garrantzitsua da “amaitezina”, “muga” eta “infinitu” bezalako hitzak botatzen ditugunean. Gogoan har ditzagun hiru objektu:

1. O. Diskoa (zirkulu bete bat).
2. O. Planoa.
3. O. Esfera (pilota baten estalkia).

Objektu horiek denak gainazalak deitzen dira, haien puntuak bi dimentsiokoak direnez gero (behar adina inguratzen bazara, plano baten itxura dute).

Kontura zaitezte diskoa berezia dela: alabaina, diskoa berezia da “muga” duelako. Beste hitzetan, badira puntu batzuk diskoan, diskoko beste puntuak ez bezalakoak direnak. Diskoaren mugan bazaude (ertzeko zirkuluan), zure bizitza oso bestelakoa izango da, diskoko beste edozein lekutan izango litzakeenaren aldean. Diskoko beste edozein lekutan 360 graduko askatasuna daukazu zauden tokitik mugitzeko. Baina mugan, “bukaerara” heldu zara, eta askatasun partziala besterik ez daukazu nahi duzun aldera mugitzeko. Esferak eta planoak, bestalde, ez daukate mugarik. Ez dago “amaiera” izeneko lekurik, bertatik “eror” zaitezkeenik.

Kontura zaitezte planoa berezia dela: azalerari dagokionez, planoak azalera infinitua du, eta horrek bereizten du diskotik eta esferatik. Ez dauka mugarik, eta azalera mugagabea dauka. Bai esferak, bai diskoak, neur daitekeen azalera daukate.

Kontura zaitezte esfera berezia dela: esfera gauza zinez harrigarria da. Ez dauka “mugarik”, eta, hala ere, ez da infinitua bere azalerari dagokionez. Alyson, “Unibertso infinitu, mugarik gabeko” batez lehen komentatu duzuna gogorarazten dit horrek. Mugarik ez daukan neurri finituko objektu baten adibide ederra da esfera.

Hutsalkeria eman lezake hori idazteak, harik eta hiru dimentsioko objektuetan pentsatzen hasten garen arte, bereziki Unibertsoak berak izan ditzakeen forma posibleetan. Pertsona arrunt batek pentsa lezake 3D-ko objektu batean (mugimendua hiru norabidetan ahalbidetzen duen objektua da), zeina neurriz finitua izanik, mugarik ez daukana? 3D pilota bat finitua da neurriz, baina mugak badauzka (esfera formako muga dauka, pilotaren “estalkia”). 3D espazio batek ez dauka mugarik, baina infinitua da bere neurrian (bolumenean).

Pentsatu ohi genuen gure Lurra, edota infinitua zela bere neurrian (plano bat bezala) edo muga bat zeukala (disko batek bezala), baina bi gauzak faltsuak gertatu ziren; finitua da neurriari dagokionez, baina mugarik ez dauka. Gaur egun pertsona askok pentsatzen dute gure Unibertsoa edota infinitua dela neurriz (3D espazio bat bezala) edo muga daukala (pilota batek bezala), baina baliteke azkenean bi gauzak faltsuak izatea, finitua delako bolumenez eta mugarik ez daukalako.

Horregatik, niri ikaragarri gustatzen zaizkit matematikak, hizkera ematen duelako egiaz bolumenean finituak izan daitezkeen baina mugarik ez daukaten forma posible guztiez mintzatu ahal izateko. Unibertsoaren forma posibleez!

A.S.: Orduan, Unibertsoaren forma bat bolumenean finitua dena eta mugarik ez daukana, Priyak lehen aipatzen zuen “hodi formako gainazal elastikoa” izan daiteke?

S.L.D.: Hona hemen forma posible bat bolumen finitua daukana eta mugarik ez daukana. Har dezagun kubo bat, sei alde lau dauzkana. Ageriko gauza da kubo horren bolumena finitua dela (eskuarekin eustea posible da), baina muga bat dauka: kuboaren barruan hegaka hasten bazara, paralelepidoaren aldeen aurka “talka egin” zenezake. Imajina ezazue kuboaren aurrez aurreko aldeak itsasten dituzuela (edo identifikatzen dituzuela): hegaka mugituz eta kuboaren alde batera iristean, besterik gabe zeharkatuko zenukete eta kuboaren kontrako aldera iritsiko zinateke (Pacman bideo-jokoan comecocos-ak egiten duena bezalakoa imajina genezake: pantailaren ezkerraldetik ateratzen da eta gero eskuinaldetik agertzen da berriz). Ondoriozko objektuak, aurrez aurreko aldeak elkarrekin itsatsi ondoren, mugarik gabeko bolumen finituko forma bat eragiten du. Matematikariek 3-toru deitzen diote; donutaren bertsio bat da, dimentsio handikoa. Bada soluzio matematiko eder bat, zeinaren arabera 3D-ko edozein forma posible (bolumen finitu mugarik gabeko bat) poliedro baten hainbat alde elkarrekin itsastetik baitator. Oso ederra da!

P.N.: Beha daitekeen Unibertsoak bolumen finitua dauka denboraren edozein puntutan: gaur, duela milioi bat urte eta milioi bat urte barru. Esan liteke Unibertsoa bera eta Unibertsoaren existentzia independenteak direla guk egiazki haiei behatzeko dugun ahalmenetik. Argiak Unibertsoaren zati gero eta handiagoa argitzeko behar bezainbesteko abiadaz ez bidaiatzeak ez du esan nahi Unibertsoa bera existitzen ez denik! Nik nahiago dut Unibertsonaren forma imajinatu etengabe hazten den muga elastikoa daukan formaren moduan. Eta zentzu horretan erabiltzen dut “elastiko” hitza, baina ez zehazki “hodi formako”.

Espaziorako “elastiko” hitza erabiltzen dudan modu berean planteatzen dut nik denbora. Konturatu al zarete denboraren itxurazko joana ez dela beti berdina, ezta gure eguneroko esperientzian ere? Ondo dakidan arren zehatz ezarria dagoela segundo bati dagokion zesiozko erloju atomikoaren ondoriozko bitartea (gutxi gorabehera, alde batera uzten badituzu pilatzen diren tarteko segundoak…), uste ez nuela nire aurrean balaztatu zuen furgoneta batekin ezin saihestuzko txokearen aurretik igaro zen “minutua”, iruditu zitzaidan egiaz izan zena baino askoz ere bizkorrago gertatu zela, baina ondo gogoratzen dut, eta nire oroimenean ematen du bitarte luze bat izan zela, eta kamera geldoan igaro zela dena.

Hortaz, nik ez dut uste denboran zehar mugitzen garenik, denbora esperimentatu egiten dugu besterik gabe; hortik datoz denboraren igarotzeaz izaten ditugun sentsazio desberdinak, abiada bizikoak edo motelekoak. Areago, ausartuko nintzateke esatera denbora pertzepziozko koordenatu/nozio bat dela, eta, era horretan, irudipenezkoa eta antzemanezina izango litzateke.

A.S.: Priya, adieraz zenezake xeheago zer esan nahi duzun pertzepziozko koordenatu/nozio batez mintzatzen zarenean? Interesgarria dirudi.

P.N.: Nik esan nahi nuen denboraren koordenatuaz guk dugun esperientzia aldakorra dela, nahiz eta denboraren unitateaz eman dugun definizioa, alegia, segundo baten edo minutu baten iraupena, aldez aurretik finkatua egon. Horregatik, batzuetan hamar segundok luzeagoak ematen dute, eta besteetan oso iheskorrak gertatzen dira. Erlojuaren arabera, denbora-tarte berbera igaro da, baina guk denbora-bitarte horretaz dugun esperientzia guztiz bestelakoa gerta daiteke. Eta horretan alde handia dago espazio-koordenatuez dugun pertzepzioarekin alderatuz gero.

Elkarrizketa paraleloa

A.S.: Ikusi berria dut Lee Ufan-en erakusketa bat Guggenheim Museoan; kasualitatez, Marking Infinit deitzen da [Infinitua markatzen]. Erakusketan artistaren aipamen hau irakurri nuen: “Unibertsoko gauza guztiak puntu batetik sortzen dira eta puntu batera itzuli […] gauza guztiak dira puntuen eta lerroen banatze bat eta bateratze bat […] existitzea puntu bat da eta bizitzea lerro bat, eta, hortaz, ni ere puntua eta lerroa naiz”. Zer iradokitzen dizue horrek?

S.L.D.: Gogoan hartzen badugu Unibertsoa Big Bang-arekin sortu zela, eta bukatuko dela, seguruena, ez hoztuz, krakateko batez baizik, Ufanen bertsio bat daukagu egiaz, abiapuntu baten eta iriste-puntu batena. Bi horiek bereizten dituen lerroa, jakina, ez da dimentsio-bakarra, baizik eta espazio-denboraren konfigurazio konplexu bat.

P.N.: Lee Ufan jaunaren berrespenak, Unibertsoko gauza guztiak puntu batean hasten direla eta puntu batera itzultzen direla, ez dauka oinarri zientifikorik, nahiz eta hunkitzailea eta poetikoa gertatu. Gure Unibertsoa ez zen puntu batetik abiatu, Big Bang-a han eta hemen eta beste toki hartan gertatu zen, leku orotan! Zoritxarrez, gure Unibertsoa denborarekin aldatu egingo da eta leku hotza eta bakartia bihurtuko da, gero eta gehiago zabalduko dena eta ez da desintegratuko denboran hurbil dagoen inongo puntutan.

A.S.: Unibertsoaren bukaerarena egia da, baina nik uste dut goiko hura 1960ko hamarkadaren amaiera aldera edo 1970.aren hasiera aldera idatzi zuela, eta hori zehaztu egin behar nuen. Artista naizen aldetik, termino zientifikoetan baino areago, termino poetikoetan pentsatzen dut nik ere infinituan, eta, hortaz, era horretako berrespenek erakarri egiten naute. Jakin egin nahi nuen zer uste duzuen zuek esan nahi duela infinituak guretzat, gizaki gisa. Egiaz heldu gaitezke jakitera edo ulertzera? Gure bizitzak finituak dira.

P.N.: Konforme nago poesiak ez duela zertan zehaztasun zientifikorik izan, baina agertu behar du hartan egiaren baten mamiaren oihartzunak. Nik ez dut uste infinitua egiaz ezagutzeko modukoa izan daitekeenik, ez guretzat ez inorentzat (ezta bizi-itxaropen luzeagoa izanda ere, adibidez). Nik uste dut, gure ahalmen kognitiboen mugak direla medio, izan litezkeela kontzeptu batzuk oinarrian ezin ulertuzkoak direnak, eta uste dut, zalantzarik gabe, infinitua dela horietako bat.

Ez dut uste modu sakonean uler dezakegunik; hitza erabil dezakegu, baita hitzarekin eroso sentitzera iritsi ere, nire kasuan bezala, fisikako espezialista gehienen kasuan bezala; baina ulertzea… nik uste dut hori gure helmenetik kanpo geratzen dela. Horrek ez du esan nahi gizakiok tontoak edo ergelak garenik, bakarrik esan nahi du gure ahalmen kognitiboak direnak bezalakoak direla, baita milioika urteko garapenaren ondoren, eta horrexek markatzen du, oinarri-oinarrian, zenbateraino irits gaitezkeen gauza jakin bat sakonki jakitera eta ulertzera.

A.S.: Gure ulertzeko ahalmenaren arrakala horretan sartuko da beharbada artea jokoan. Arteak (izan bisuala, idatzia edo dantzatua) infinitu-sentsazio bat eskaintzen digu, distira bat, baina ez, berez, ulerpen zientifikorik.

P.N.: Zientziak ez bezala, arteak ez du helbururik behar. Izan daiteke, besterik gabe, deskribapen bat, edo distiraren bat harrapatzea, ondo esan duzun bezala.

S.L.D.: Nik uste dut “ulertu” hitza dela eztabaida honetan garrantzitsua gerta litekeena, Alysonek hasieran erabili duen hori... Egiaz hel gaitezke infinitua ezagutzera edo ulertzera? Irakurri dudanez, badirudi, eman duen erantzunaren arabera, Priya aztertzen ari dela hitz horrek zer esan nahi duen, baina nik neronek arrastorik ere ez dut zer esan nahi duen “ulertu” hitzak… Ulertzen al ditut nik zuhaitzak? Badakit zer diren eta badakit nolabait ere nola funtzionatzen duten, baina neuregana al nezake eta zentzu osoa aurkitu zuhaitzek egin dezaketena? Egiaz, ez. Nire bulegoko atean dagoen zuhaitza ere ez dut ulertzen, eta, hortaz, askoz gutxiago ulertuko ditut zuhaitz guztiak. Eta, ondo pentsatuta, EZER ERE EZ dut osorik ulertzen, partez bakarrik ulertzen ditut gauzak, ñabardura batzuk, pieza batzuk. Infinituaren kontzeptua, nik, behintzat, ulertzen ez dudan gauza da. Baina baliteke semantika-auzia izatea huts-hutsik. Eta “infinituaren kontzeptua” ez al dago nolabait ere semantikarekin lotua?

Artearen nolakotasunaz hitz egiten duzue biek testuinguru honetan. Nik uste dut pertsonek duten onena ematen dutenean, zientzian, okintzan, matematiketan nahiz  negozioetan ari direla, artea dela. Gauza horiek guztiek ematen digute, inguratzen gaituen guztiak ematen digu, eman, “infinitu-sentsazio bat”, Alysonek idazten duen bezala. Horrek guztiak oso gogoeta serioa egitera narama Jainkoaren inguruan ditudan ideiez. Beste uneren batean itzuli behar naiz horretara.

Zeroa eta infinitua

P.N.: Niretzat, infinitua misteriotsua da: azken puntua eta gailurra. Fisikaz eta magnitude fisikoez dugun ulerpena zartatu egiten da puntu horretan, eta zartadura hori ezin saihestuzkoa da. Gure ulerpenaren azkena da, beste kasu batean ez bezala, hau da, puntu jakin bateraino helduta, fisika klasikoaren deskribapenak hautsi eta deskribapen kuantiko bat beharrezkoa gertatzen den arte, zentzu murriztailean. Bai denborak, bai espazioak, infiniturantz jotzen duen limitean, inoiz ez dira berreskuratuko ez teoria bat ez teoria baten bertsioa, ez baita teoriarik izango inolako azalpenik eman ahal izango duenik. Horixe da, nire iritzian, infinituaren kontzeptuan liluragarria gertatzen dena. Nik ulertzen dudanez, infinitura jotzen duen limite hori zerorantz jotzen duen espazio- eta denbora-limiteaz bestelakoa da funtsean. Zeroa ere misterio bat da, jakina, baina errazagoa da harekin jardutea, t=0 formularen definizio zehatz bat baitago, eta horren aurretik ez zen jakin genezakeen ezer existitzen. Bestalde, infinitua oso iheskorra gertatzen da.

S.L.D.: Priyak zeroa eta infinitua bereizten ditu, eta argi dago badela alde bat. Baina nire iritzian, biak dira modu berean mingarriak eta modu berean atsegingarriak. Matematikoki esan liteke (ardura gehixeagoz) 1/0 = infinitu dela, eta 1/infinitu = 0. Orduan, bata bestearen “aurkakoa” da (badakit Priya ez dela horretaz ari, baina burura datozkidan ideiak dira). Zentzu horretan, matematiketan aski gauza naturala gertatzen da infinitua, besterik gabe, puntutzat hartzea, 7, edo −32, edo zero bezala (eta horrek geometria proiektibora garamatza). Nik esan nahi dudana da ideia horiek guztiak, baita infinitua bezain ideia basatia ere, ukigarriak direla. 3a 7arekin moldatu eta manipula daitekeen bezalaxe, gauza berbera egin daiteke infinituarekin eta zeroarekin.

A.S.: Zeroaren eta infinituaren aurrez aurreko kontzeptuak oso-oso interesgarriak gertatzen zaizkit. Zuk aipatu ez bazenu ere, senez pentsatuko nukeen “anai-arrebak” direla. Zeroak infinitutik oso gertu dagoelako irudipena ematen du (nahiz eta ondo dakidan, Priya, guztiz bestelakoak direla esango didazula)… Nahiko zailak dira biak bistaratzen. Zeroan edo hutsean pentsatzen duzunean, zertaz ari gara? Ezerezaren esperientziarik ez dugu egiaz gure eguneroko bizitzetan, zeren espazioa eta airea bera ere ez baitira ezereza; sekulako gauzak dauzkate beren baitan.

Ideia horren gaineko zerbaitek Lewis Carroll-en Ispiluan barrena liburuko eszena bat gogorarazten dit. Erreginak eskutik heltzen dio Alice-ri eta korrika edo hegan hasten dira abiada bizi-bizian paisaia bihurturiko xake-oholaren gainetik. Arnasestuka daude biak, eta Erreginak jakinarazten du heldu direla beren jomugara, nahiz eta ez diren mugitu beren hasierako laukitik. Alicek honela dio: “[…] gure herrian […] guk egin dugun bezala denboraldi luze batez korri egiten baduzu beste norabait iristen zara normalean”. Eta erreginak erantzuten dio: “Oso herri mota geldoa. Hemen, ikusten duzunez, ahalik eta gehien korri egin behar duzu leku berean gelditzeko. Beste norabait iritsi nahi baduzu, gutxienez bi aldiz azkarrago korri egin behar duzu!”¹.

Bada horretan zerbait bai infinitua, bai zeroa gogorarazten didana. Gu existitzen garen denboraren eta mugimenduaren ilusioaren analogia ere ematen du. Batzuetan irudipena izaten dut denboraren ilusio batean bizi garela. Guk uste dugu denboran zehar abiada “naturalean” edo anbiguetaterik gabeko abiada batean mugitzen garela, baina kanpotik begiratuko lukeen beste izaki batek denboran geldi bageunde bezala ikusiko gintuzke, edo existitzen den denboraren multzoa osotasun baten moduan ikusi ahal izango luke.

Utzidazue Jorge Luis Borges-en Avatares de la tortuga (Dortokaren gorabeherak) istorioaren zati hau ere aipatzen: “Guk (gugan diharduen jainkotasun zatiezinak) mundua amestu dugu. Sendoa amestu dugu, misteriotsua, ikusgaia, nonahikoa espazioan eta irmoa denboran; baina desarrazoizko arrakala meheak eta betierekoak onetsi ditugu haren arkitekturan, faltsua dela jakiteko. […] Onar dezagun idealista guztiek onartzen dutena: munduaren nolakotasun haluzinatorioa. Egin dezagun inongo idealistak egin ez duena: bila ditzagun nolakotasun hori berresten duten irrealtasunak”².

P.N.: Bi gauza nahi nituzke argitu: infinitua eta infinitesimala funtsean erabat desberdinak dira. Infinitesimala finitu zenbakarria eta txikia da, eta haren limiteak zerora jotzen du. Infinitua gauza infinituki handia da, eta asintota ezin neurtuzkoa du.

S.L.D.: Alyson, zuk izan duzun azken ideia horrek, “kanpotik begiratuko lukeen beste izaki” batez, Jainkoarengan pentsarazten dit (niretzat, Jainko judeokristaua da Jainkoa, den guztiaren sortzailea eta euslea). Guztiaren sortzailea delarik, baita denboraren eta espazioarena ere, eta aldi berean bere sorkariaz bestelakotzen delarik (sorkuntzaz “kanpo” baitago), Jainkoak bakarrik uler ditzake guztiz zeroa eta infinitua bezalako kontzeptuak. Eta Hark bakarrik ikus lezake denbora egiaz den bezalakoa. Baina nire ustez, sortu gaituzten izaki hilkorrak garenez gero, guri ez dagokigu nozio handi hauek besterik gabe ulertzea, baizik eta haiekin jardutea, haiekin borrokatzea, haien gainean pentsatzea eta haietan lan egitea. Eta horixe da, nolabait ere, elkarrizketa honen solasgaia.

P.N.: Jainkoari dagokionez, nik ez dut uste inolako eragilerik/Jainkorik aipatu behar denik kontzeptu hauek ulertzeko. Jainkoa aipatzeak ez du laguntzen gauzak argitzen. Fedeak gure uste bat sendotzen du, izan behar duela justifikazio arrazional bat gauzak diren bezala izan daitezen, sendotu egiten du gure Unibertsoaren onespena, sortu duen botere goren batek emana datorren bezala. Agian ez gara inoiz helduko ulertzera zergatik den hori horrela, baina Jainkoagan sinesteak erraztu egiten du asmoa hori zela ulertzea. Alabaina, “gauzak diren bezala direla” onartzeko ez da inolako eragilerik behar.

A.S.: Bai, noski. Askotan izan dut esperientzia hori, jakina. Orain urte batzuk, bizikletaz nindoala, auto batek harrapatu ninduen (zorionez ez zitzaidan ezer gertatu), baina nire bizikletatik airean ateratzeko prozesuan, inguratzen ninduen guztia ikusi ahal izan nuen… ikusi nuen lurra nola hurbiltzen zitzaidan. Astia izan nuen era guztietako gauzetan pentsatzeko. Dena oso mantso gertatu zen… lurra jo nuen arte!

Jainkoari dagokionez, egia esan ez nintzen Jainkoarengan pentsatzen ari denboraz kanpoko ikuslea delakoan. Orain gutxi irakurri dudan teoria batean ari nintzen pentsatzen, teoria horrek esaten baitu Unibertsoa beste izaki batzuek sortutako holograma dela, Unibertsoaren sorrerari buruzko esperimentu moduko bat, zulo beltzen eraketarekin guk egiten ditugun esperimentuen antzekoa. Ez dakit zehatz noiz irakurri nuen hori, eta, gauza zentzugabea ematen badu ere, ezin dut gogotik atera. Hala balitz, beste izaki horiek gure Unibertsoari/haien esperimentuari beha egongo lirateke, beren denboratik/espaziotik.

Nolanahi ere, gauza batean bat nator zuekin: galdera handi horiekin borrokatzea dela gure eginkizuna (Jainkoa aipatu edo ez, Jainkoa inplikatu edo ez). Horixe ari gara hemen egiten, eta oso gustura egon naiz zuekin biokin hizketan. Eskerrik asko zuen denboragatik!

[Itzultzailea: Rosseta Testu Zerbitzuak S.L.
Egokitzapena: Guggenheim Bilbao Museoa]

Oharrak

1. Lewis Caroll, Ispiluan barrena, Pamiela, 2004, 40. or. [Itzultzailearen oharra] [itzuli]
2. Jorge Luis Borges, “Avatares de la tortuga”, hemen: Obras Completas, Discusión, EMECÉ Eds., 1972, 258 or. Jatorrizko testua: “Nosotros (la indivisa divinidad que opera en nosotros) hemos soñado el mundo. Lo hemos soñado resistente, misterioso, visible, ubicuo en el espacio y firme en el tiempo; pero hemos consentido en su arquitectura tenues y eternos intersticios de sinrazón para saber que es falso. […] Admitamos lo que todos los idealistas admiten: el carácter alucinatorio del mundo. Hagamos lo que ningún idealista ha hecho: busquemos irrealidades que confirmen ese carácter”. [Itzultzailearen oharra] [itzuli]

PDF-a JAITSI